Линейная функция: график, k и b, примеры

Q: Сколько точек нужно для построения прямой?

Две. Но третья точка — хорошая проверка: если она не легла на прямую, где-то ошибка в вычислениях.

Q: Почему при k < 0 график убывает?

Потому что с ростом x значение y уменьшается: k отрицательный, и произведение kx тянет y вниз.

Q: Как найти точку пересечения двух прямых?

Приравнять правые части: k₁x + b₁ = k₂x + b₂, найти x, затем подставить его в любую формулу и найти y.

Линейная функция и её график: как построить за 2 минутыЛинейная функция y = kx + b: что означают k и b, как построить график по двум точкам, как найти точки пересечения с осями. Примеры для 7–9 класса.График линейной функции — прямая. Чтобы её построить, не нужна таблица на 10 строк: достаточно двух точек. Осталось понять, что делают коэффициенты k и b.

Что такое k и b

b — точка, в которой прямая пересекает ось y (при x = 0). k — угловой коэффициент: он показывает, насколько круто идёт прямая и в какую сторону.

Если k > 0 — прямая возрастает (идёт вверх слева направо). Если k < 0 — убывает. Если k = 0 — горизонтальная прямая y = b.

k — это «скорость»: на сколько изменится y, если x увеличить на 1.

Как построить график по двум точкам

Например, y = 2x + 1: при x = 0 y = 1, при x = 2 y = 5. Через точки (0; 1) и (2; 5) проходит прямая.

Берём x = 0 — получаем точку (0; b).
Берём удобный x, например 1 или 2, — считаем y.
Отмечаем две точки на координатной плоскости.
Проводим прямую через них.

Точки пересечения с осями

С осью y: подставляем x = 0, получаем (0; b). С осью x: подставляем y = 0 и решаем уравнение 0 = kx + b, то есть x = −b/k. Это часто спрашивают на контрольных.

Взаимное расположение прямых

одинаковые k и разные b — прямые параллельны;
одинаковые k и b — прямые совпадают;
разные k — прямые пересекаются в одной точке.

Пример с решением

Постройте график y = −2x + 4 и найдите точки пересечения с осями.

При x = 0: y = 4 → точка (0; 4).
При y = 0: −2x + 4 = 0 → x = 2 → точка (2; 0).
k < 0, значит прямая убывает.

Ответ: (0; 4) и (2; 0)

Пример с решением

При каком k графики y = kx + 3 и y = 2x − 1 параллельны?

Прямые параллельны при равных угловых коэффициентах.
Значит, k = 2.

Ответ: k = 2

Частые вопросы

Сколько точек нужно для построения прямой?

Две. Но третья точка — хорошая проверка: если она не легла на прямую, где-то ошибка в вычислениях.

Почему при k < 0 график убывает?

Потому что с ростом x значение y уменьшается: k отрицательный, и произведение kx тянет y вниз.

Как найти точку пересечения двух прямых?

Приравнять правые части: k₁x + b₁ = k₂x + b₂, найти x, затем подставить его в любую формулу и найти y.