Квадратные уравнения через дискриминант: примеры

Q: Что делать, если дискриминант отрицательный?

В 8 классе ответ записывают так: «действительных корней нет». В старших классах появляются комплексные числа, но в школьной программе до 11 класса обычно достаточно этой формулировки.

Q: Обязательно ли использовать дискриминант?

Нет. Неполные уравнения быстрее решать разложением на множители, а иногда корни видны по теореме Виета. Дискриминант — универсальный, но не единственный способ.

Q: Почему в знаменателе 2a, а не 2?

Формула выводится из коэффициента a: при делении уравнения на a появляется множитель. Поэтому знаменатель — удвоенный первый коэффициент. Если a = 1, разницы не видно, а при a = 2 ошибка сразу меняет ответ.

Квадратные уравнения: дискриминант и корни по шагамКак решать квадратные уравнения: формула дискриминанта, случаи D > 0, D = 0, D < 0, теорема Виета и примеры с пошаговым решением для 8–9 класса.Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Универсальный способ решения один: найти дискриминант. Дальше всё зависит от его знака.

Дискриминант: главная формула

D = b² − 4ac. Он показывает, сколько у уравнения корней и есть ли они вообще. Считать нужно аккуратно: чаще всего ошибаются со знаком b, когда он отрицательный.

D > 0 — два разных корня;
D = 0 — один корень (два совпадающих);
D < 0 — действительных корней нет.

Формула корней

Если D ≥ 0, корни находятся по формуле x = (−b ± √D) / (2a). Знак ± означает, что мы считаем два значения: с плюсом и с минусом. В знаменателе именно 2a, а не 2 — это частая ошибка.

Неполные квадратные уравнения

Если c = 0: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 или x = 5. Если b = 0: x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3. Такие уравнения решаются быстрее через разложение на множители, дискриминант не нужен.

Теорема Виета — быстрая проверка

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Это позволяет проверить ответ в уме: для x² − 6x + 5 = 0 сумма корней 6, произведение 5 — подходят 1 и 5.

Если сумма и произведение не сходятся — где-то ошибка в знаках. Теорема Виета работает как бесплатная проверка.

Порядок действий на контрольной

Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
Выписать a, b, c с их знаками.
Вычислить D.
Если D < 0 — записать «корней нет».
Если D ≥ 0 — найти корни и проверить по Виету.

Пример с решением

Решите уравнение x² − 6x + 5 = 0.

a = 1, b = −6, c = 5.
D = 36 − 20 = 16, √D = 4.
x₁ = (6 − 4) / 2 = 1, x₂ = (6 + 4) / 2 = 5.
Проверка по Виету: 1 + 5 = 6, 1 × 5 = 5 — верно.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 5

Пример с решением

Решите уравнение 2x² − 5x + 3 = 0.

a = 2, b = −5, c = 3.
D = 25 − 24 = 1, √D = 1.
x₁ = (5 − 1) / 4 = 1, x₂ = (5 + 1) / 4 = 1,5.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 1,5

Пример с решением

Решите уравнение x² + 4x + 4 = 0.

D = 16 − 16 = 0.
x = −4 / 2 = −2.

Ответ: x = −2 (один корень)

Частые вопросы

Что делать, если дискриминант отрицательный?

В 8 классе ответ записывают так: «действительных корней нет». В старших классах появляются комплексные числа, но в школьной программе до 11 класса обычно достаточно этой формулировки.

Обязательно ли использовать дискриминант?

Нет. Неполные уравнения быстрее решать разложением на множители, а иногда корни видны по теореме Виета. Дискриминант — универсальный, но не единственный способ.

Почему в знаменателе 2a, а не 2?

Формула выводится из коэффициента a: при делении уравнения на a появляется множитель. Поэтому знаменатель — удвоенный первый коэффициент. Если a = 1, разницы не видно, а при a = 2 ошибка сразу меняет ответ.